Если судья назначила экспертизу без ходатайства сторон, и при этом возложила расходы на Вас, Вы могли бы попытаться обжаловать определение в части, касающейся возложения на Вас расходов по оплате (обжаловать определение о назначении экспертизы целиком нельзя). Основанием было бы то, что при назначении экспертизы по инициативе суда оплата производится за счёт федерального бюджета (*). Впрочем, отмена определения в части, касающейся оплаты, "повесила" бы дело до тех самых пор, пока в бюджете не появятся деньги на оплату подобных экспертиз, а это не выгодно прежде всего Вам.
Поэтому рекомендую (1) сейчас оплатить стоимость экспертизы (иначе это будет воспринято как воспрепятствование проведению экспертизы и может повлиять на решение суда), (2) на первом же заседании после проведения экспертизы подать заявление о распределении судебных расходов и (3) в дальнейшем следить за тем, чтобы Ваши эксперты не завышали суммы (да, да, они так делают, чтобы угодить клиенту, видимо, не понимая, что из-за этого при проигрыше или частичном проигрыше дела клиент потеряет в судебных расходах, которые, как известно, возмещаются "пропорционально удовлетворённым исковым требованиям").


(*) Хотя замечу, что у меня в практике был случай (я был на стороне ответчика, и был заинтересован в затягивании процесса), когда такая частная жалоба не была принята судом с весьма грубым обоснованием: несмотря на то, что в жалобе было указано, что определение о назначении судебной экспертизы можно обжаловать в части возложения судебных расходов, и специально приведена ссылка на статью ГПК (я знал, что это будет первая мысль судьи), судья тупо написала, что "возможность обжалования данного определения ГПК не предусмотрена". Причём возврат жалобы судья произвела не путём направления определения, а обычным письмом, что исключало возможность процессуального обжалования этого возврата и включало необходимость использования административной процедуры. На что мы тогда были не готовы - всё-таки, снять судью за одно нарушение, причины которого всем и так понятны (денег в бюджете не хватает, а споры надо разрешать), маловероятно.